Задание 8, № 192 (с сайта К.Ю. Полякова)
(А. Богданов) Марина собирает восьмибуквенные слова из букв своего имени. Первые четыре буквы новых слов берутся из первых четырех букв имени, так чтобы ни одна буква не повторялась. А последние четыре буквы из последних трех букв имени, и они могут многократно повторяться. На каком месте окажется имя МАРИАННА в отсортированном по алфавиту списке сгенерированных слов? Нумерация начинается с 1.
Решение:
1. Выясним количество вариантов для первой половины слова (последовательность из 4х букв, состоящая из букв М, А, Р, И, в которой буквы не повторяются):
- слово начинается с А: 3*2*1=6 слов
- слово начинается с И: 3*2*1=6 слов
- слово начинается с М (запишем слова в алфавитном порядке):
МАИР
МАРИ
…
Таким образом, перед словом, начинающимся с МАРИ, возможны 13 вариантов начала слова.
2. Рассмотрим вторую половину слова (последовательность из 4х букв, составленная из букв А, И, Н). Всего здесь можно составить 34=81 слово.
3. 13*81=1053 различных слова до слова, начинающегося с МАРИ.
4. Рассмотрим слова, начинающиеся с МАРИ. Посчитаем, на каком месте в этом списке находится слово в окончанием АННА.
Для этого обозначим буквы цифрами: А — 0, И — 1, Н — 2.
АННА -> 02205=24.
Т.к. на первом месте стоит 0 (АААА), то 24 стоит на 25 месте.
5. Посчитаем окончательный ответ: 1053+25=1078.
Задание 8, № 193 (с сайта К.Ю. Полякова)
(Е. Джобс) Сколько существует четных пятеричных чисел длиной 6, начинающихся с цифры 3?
Решение:
Важно помнить, что в системе счисления с нечетным основанием четность числа зависит от суммы его цифр. Если число нечётных цифр чётное (сумма цифр числа четная), то всё число чётное, а если число нечётных цифр нечётное (сумма цифр нечетная), то число нечётное.
Т.к. на первом месте стоит 3 (нечетная цифра), то сумма следующих 5 цифр должна быть нечетной. Т.е. эти 5 знакомест содержат 1,3 или 5 нечетных цифр.
1) Оставшиеся 5 цифр содержат 1 нечетную цифру: 2*34=162.
Т.к. нечетная цифра может находиться на любой из 5 позиций, 162*5=810.
2) Оставшиеся 5 цифр содержат 3 нечетные цифры: 2*2*2*3*3=72.
Количество вариантов расстановки нечетных цифр: 5!/(2!*3!)=10;
72*10=720
3) Все цифры нечетные: 25=32
810+720+32=1562.